В русском языке существуют оба написания этого слова. Рассмотрим подробнее, от чего зависит слитное либо раздельное написание.
Правильно
Подолгу – разговорное неизменяемое наречие. Образованное от наречия «долго» с помощью приставки «по». Единственно правильное написание – слитное, так как подчиняется правилу: наречия, которые образованы от других наречий и приставок, всегда пишутся слитно. Означает «в течение продолжительного времени».
Он любил подолгу бродить по пустынным улицам ночного города.
Эти двое подолгу занимали телефонную линию, обсуждая последние новости.
Он подолгу сидел на кухне, думая над превратностями судьбы.
Она любила подолгу гулять с племянниками ,ощущая необычайную радость от общения с детьми.
По долгу – это существительное с предлогом «по». Согласно правилу, все предлоги с другими частями речи пишутся раздельно. Чаще всего в предложении употребляется вместе с пояснительным словом.
По долгу службы он часто ездил в командировки по городам родной страны.
— Вы знаете, я поступаю так лишь по долгу чести, а не из-за уважения к Вам!
— Сергей Федорович, по долгу службы Вы обязаны немедленно выехать в город Н. и там ждать дальнейших указаний.