В словарях русского языка эти слова являются синонимами, но на практике употребляются немного в разном контексте.
Правильно
Подсолнечник — название рода травянистых растений с жёлтым соцветием-корзинкой, заполненным семенами. Наиболее часто употребляется как научное название растения, так и как название сельскохозяйственной культуры. Произношение «подсолнешник» устаревает.
Мы изучали биологические особенности подсолнечника.
Вдоль всей дороги рос подсолнечник.
В нашей области в этом году большие посевы подсолнечника.
Закупочная цена подсолнечника в этом году.
Подсолнух — то же, что и «подсолнух», в некоторых словарях приведено с пометкой «разговорное». Чаще употребляется по отношению к отдельно растущему растению.
У нас на огороде вырос большой подсолнух.
Сидя не дереве мы клевали семечки подсолнуха.
Подсолнух был огромным и спелым.
Ваня нарисовал поле с подсолнухами.
Неправильно
Подсолнешник — допустимо только произношение через «шн».