В русском языке есть оба слова, но происходят они от двух разных глаголов, значение которых абсолютно разное.
Правильно
Помнишь — глагол «помнить» в форме настоящего времени второго лица. Пишется через букву «и» как и проверочное слово (инфинитив «помнить»), в конце глагола обязательно должен быть мягкий знак. Ударение приходится на букву «о» — пОмнишь.
А ты точно помнишь фамилию этого человека?
Я точно знаю, что ты помнишь о своем обещании.
Как ты помнишь, мы делали эту работу вместе.
Помнёшь — это слово является производной формой глагола «помять» (подавить что-либо, делая мягким, разминая). В данном случае глагол употреблен в форме будущего времени второго лица, пишется через букву «ё», она же является ударной — помнЁшь.
Помнёшь газеты и вложишь в коробку с люстрой.
Осторожно, так ты помнёшь все мои работы.
Неси картину аккуратно, иначе помнёшь её.
Неправильно
Помниш, помнеш.