Понапрасну или по напрасну как правильно?

Правильно

Понапрасну – устаревшее неизменяемое наречие. Единственно правильное написание – слитное, так как подчиняется правилу: наречие, образованные от прилагательных и местоимений с любыми приставками пишутся слитно. Означает «зря, не достигая цели».
Он понял, что понапрасну надеялся на положительный ответ от нее.
— Понапрасну мы пришли – этот магазин сегодня вообще не работает.
Понапрасну я весь вечер вчера объясняла сыну математику – он так ничего и не понял.
Мы понапрасну надеялись, что нам выдадут зарплату вовремя.

Неправильно

По напрасну.