Обе глагольные формы имеют место быть в русском языке. Образованы они от одного глагола. Проверяется правильность написания в каждом конкретном случае постановкой к глаголу вопроса.
Правильно
Попросится – отвечающий на вопрос «что сделает?» глагол будущего времени. Будет писаться без мягкого знака, поскольку в вопросе этой буквы нет. Ударение в глаголе приходится на вторую гласную «О» — попрОсится.
Он попросится ночевать в последнюю избу.
Если зазвонит телефон, Ольга попросится выйти из аудитории.
Андрей попросится на лекцию для параллельного потока, чтобы еще раз прослушать материал перед сессией.
Малыш, как только увидит аттракционы, обязательно попросится на один из них.
Попроситься – отвечает на вопрос «что сделать?», потому что является инфинитивом. Вопрос содержит мягкий знак, поэтому в суффиксе глагола эту букву следует писать. Ударение в слове падает на гласную «И», находящуюся в третьем слоге – попросИться.
Олег решил попроситься у родителей поехать на экскурсию с другими ребятами.
Он должен попроситься в вагон – это единственный вариант добраться до работы.
Скорее всего, эти двое хотят попроситься на службу к барону.
Ему следовало постучать и попроситься зайти, а не вваливаться, как к себе домой.
Неправильно
Попроситца, попроситьца, попросется, пропросеться.