Правильно
Постареть — глагол совершенного вида первого спряжения в инфинитиве (что сделать?). Слово образовано приставочным способом. Предлог по (в роли приставки) добавили к глаголу несовершенного вида — стареть. В новообразованном слове присутствуют: приставка (по-) , корень (-стар-), суффикс (-е-), постфикс (-ть). Поскольку приставка – это часть слова, постареть – пишем слитно. Подобным способом образованы многие слова: побагроветь, помешать, побороть.
При плохом уходе новое изделие может постареть буквально за считанные недели.
Все неприлично молодящиеся дамы солидного возраста – несомненно те, кто боится постареть.
Лишний вес, морщины – это не приговор, главное не постареть душой.
За прожитые семьдесят лет дед Степан смог не постареть и выглядел довольно моложаво.
Неправильно
По стареть.