Оба из предложенных вариантов являются правильными. Данные глаголы представляют собой разные глагольные формы, поэтому и отличаются написанием.
Правильно
Повеселится – является глаголом, стоящим в будущем времени. К слову можно поставить вопрос «что сделает?». Наличие мягкого знака в слове определяется проверочным вопросом. Поскольку в вопросе этой буквы нет, то и в слове ее не будет.
Повеселится Артем на празднике на славу.
Как же она повеселится, узнав о новом своем назначении на должность!
Напоследок он повеселится от души.
Повеселиться – глагол употреблен в неопределенной форме, поэтому к нему уместно поставить вопрос «что сделать?». В слове необходим мягкий знак, потому что он есть в проверочном вопросе.
Мария не меньше других любит повеселиться.
Повеселиться от души можно тогда, когда все дела уже сделаны.
Ей очень хотелось повеселиться, но все время что-то мешало.
Неправильно
Повеселитца, повеселитьца, повеселицца, повесилится, повесилиться.