Эти слова можно встретить в языке на совершенно равных правах.
Правильно
Повозится – представленное слово является глаголом, стоящим в форме будущего времени. Поэтому к нему уместно для проверки поставить вопрос «что сделает?». Поскольку в вопросе нет буквы «Ь», то и слово следует писать без нее. ПовОзится – ударение в этом слове приходится на второй слог, где ударной гласной является вторая «О».
Он еще сколько-то повозится с тобой, да и бросит эту затею.
Пусть он еще немного повозится с пластилином, пока обед готовится.
Может, если он повозится с пультом, телевизор включится?
Бабушка с радостью повозится с внуками.
Повозиться – этот глагол стоит в форме инфинитива. Отвечает слово на вопрос «что сделать?», который позволяет проверить написание глагольного суффикса. Поскольку в вопросе есть «Ь», то и глагол всегда следует писать с этой буквой. ПовозИться – в этом слове ударение приходится на третий слог. Ударной гласной является буква «И».
Над этим проектом пришлось повозиться.
Взрослым в этот раз пришлось немало повозиться.
Дети, которые любят повозиться с домашними животными, более самостоятельны.
Чтобы открыть заклинивший замок, придется повозиться.
Неправильно
Повозитца, повозитьца, повозицца.