Вірно написані обидва слова, вибір використання в мові того чи іншого залежить від часу коли відбуватиметься дія.
Правильно
Притулюю — дієслово теперішнього часу першої особи в однині, відповідає на питання (що роблю?). Слово позначає дію, яка відбувається в той момент, коли йде про неї мова. Приклади: приспівую, прибиваю, присипаю, пригвинчую.
Скільки не притулюю наклейку до куртки, а клейкий шар ніяк не скріплює її з тканиною.
Я притулюю всіх бажаючих – кого в пансіонат, кого в санаторій або в приватний сектор.
Я притулюю хустинку до рани, а руда кров такі ллє не зупиняючись.
Притулю — дієслово в простому майбутньому часі однини, відповідає на питання (що зроблю?). Дія відбудеться після розмови про неї. Наприклад: приберу, присиплю, пригвинчу.
Завтра я притулю вашого улюбленця на перетримку до добрих людей.
Я обіцяла нашій мамі, що притулю тебе, Петре, на роботу.
Вже третій рік поспіль я мрію, що коли побачу тебе, то притулю до тебе свою голівоньку.