В зависимости от смысла предложения возможно написание обоих вариантов.
Правильно
Прощения — существительное «прощение» в форме родительного падежа. Это и ему подобные существительные являются отвлеченными, т.е. означают абстрактные понятия. По правилам русского языка такие существительные с глаголом «просить» употребляются именно в родительном падеже: прошу прощения, прошу покоя, прошу внимания и тому подобные.
Прошу прощения, но вы неправильно дали сдачу.
Я хочу попросить у вас прощения.
Прошу прощения, это больше не повторится.
Когда ты уже будешь просить прощения?
Прощение — существительное в форме именительного падежа употребляется в любых других предложениях, где нет просьбы о прощении.
Между ними возможно прощение денежного долга.
Только так он сможет заслужить прощение.
Я не знаю, сможет ли она пойти на его прощение.
Неправильно
Прошу прощение, просить прощение.