Обидва слова вживаються в українській мові як синоніми.
Правильно
Прошу – правильний варіант вживання слова у першій особі однини. Слово утворене від дієслова «просити». Вживається і в розмовній, і в сучасній діловій мові.
Прошу надати мені відпустку за власний рахунок.
Я часто прошу дітей, щоб мені допомогли.
Прохаю – також правильний варіант вживання слова у першій особі однини. Слово утворене від дієслова «прохати». Вживається рідко, в основному в літературному і розмовному мовленні.
Я прохаю татка взяти мене з собою.
Прохаю вас прийти до мене в гості.