Правильно
Прошу прощения — написание данного выражения регламентируется правилами управления глаголов. Согласно этим правилам, если в предложении глагол употребляется с конкретным существительным (которое означает определённый предмет), тогда существительное будет иметь форму винительного падежа (прошу что? — прошу газету). В нашем же случае глагол «просить» употребляется с отвлечённым существительным (обозначающие абстрактные понятия, действия, состояния и др.), и по правилам такое существительное должно иметь форму родительного падежа: прошу чего? — прощения.
Я прошу прощения, а Вы давно тут стоите?
Уже который день я у неё прошу прощения, а она не реагирует.
Прошу прощения за задержку поставки товара.
Я прошу прощения за ожидание, проходите, пожалуйста.
Прошу прощения у всех, кого чем-то обидел.
Неправильно
Прошу прощение.