Правильно
Проспаться – представленное слово является глаголом, который стоит в форме инфинитива, поскольку к нему можно поставить вопрос «что сделать?». В слове будет писаться «Ь», потому что она есть в проверочном вопросе.
За это время уже можно было проспаться.
Ему надо проспаться, потому что ним невозможно разговаривать.
После шумного празднования надо иметь время проспаться.
Хочется проспаться, чтобы проснуться и увидеть, что это был кошмар, а не реальность.
Неправильно
Проспатся, проспатьца, проспатца.