И первый вариант написания, и второй являются верными.
Правильно
Проучится – это слово, представляющее собой глагол, стоящий в форме будущего времени, будет отвечать на вопрос «что сделает?». Суффикс глагола в данном случае следует писать без «Ь», потому что такой буквы нет в вопросе. ПроУчится – ударение в этом глаголе падает на второй слог, где ударной является гласная «У».
Он еще пару лет проучится в школе, и нужно будет думать о том, куда идти учиться дальше.
В новой школе он проучится этот семестр, а потом мы снова переедем.
Ну, проучится он еще год или два, а потом что?
Она проучится на курсах и пойдет работать в салон.
Проучиться – представленный глагол употреблен в форме инфинитива, следовательно, к нему можно поставить вопрос «что сделать?». Раз вопрос имеет букву «Ь», то суффикс глагола следует писать с указанной буквой. ПроучИться – ударной гласной в этом глаголе является «И», которая стоит в третьем слоге.
Мы смогли проучиться несколько месяцев, а затем ушли добровольцами на фронт.
Ей осталось проучиться всего полгода.
Ему предстояло проучиться в институте еще долгих четыре года.
В здании старой школы нам осталось проучиться только до конца года.
Неправильно
Проучитьца, проучитца, проучется, проучеться.