В словарях русского языка есть обе формы союза (или частицы). Слова являются синонимами, но имеют стилистические отличия.
Правильно
Пусть — форма слова, которая соответствует всем современным литературным нормам русского языка. Этот союз рекомендуется использовать как в письменной, так и в разговорной форме речи.
Пусть они сами разбираются со своей проблемой.
Я не против, пусть будет так, как ты хочешь.
Пусть Дима позвонит мне тогда, когда ему будет удобно.
Пускай — абсолютно равноправный союз, но в современном языке имеет разговорный (просторечный) оттенок. Эту форму допустимо использовать в разговорной речи или в поэзии для сохранения рифмы.
«Пускай слыву я старовером, мне все равно, я даже рад.» М.Ю. Лермонтов
Ничего, пускай походит и успокоится.
Пускай он не рассказывает нам небылицы, мы всё уже проверили.
Пускай — литературная форма слова, если употребляется как повелительное наклонение глагола «пускать».
Пускай воздушного змея, он сам взлетит на ветру.
Иди пускай кораблики в луже, это же весело!
Маша, пускай больше мыльных пузырей!