И первый вариант написания, и второй являют правильными. Но каждый в своем случае. Отличить их возможно, поставив, к ним вопросы.
Правильно
Разозлится – является глаголом будущего времени, следовательно, отвечает на вопрос «Что сделает?». Поскольку вопрос пишется без «Ь», то и в суффиксе глагола этой буквы также не будет.
Он ужасно разозлится, когда узнает, что все деньги потрачены.
Владимир разозлится, увидев такое невнимание к себе со стороны пришедших.
Капитан очень сильно разозлится, узнав, какую зверюгу мы везем в каюте.
Он настолько разозлится, что возненавидит весь мир.
Отец разозлится, узнав, что сын поступил по-своему.
Разозлиться – представляет собой неопределенную форму глагола, отвечающую на вопрос «что сделать?». Вопрос пишется с мягким знаком, именно поэтому и в глаголе после –Т следует написать мягкий знак.
Он мог бы разозлиться не на шутку, если бы вся эта ситуация его не забавляла.
Ребенок может разозлиться, если у него что-то не получается.
Что будет, если этот неуравновешенный вдруг решит разозлиться?
Мама, конечно, может разозлиться, узнав все подробности произошедшего инцидента.
Неправильно
Разозлитца, разозлитьца, разазлитца.