Написание зависит от падежа и рода, в котором употребляется это причастие.
Правильно
Родившийся — причастие от инфинитива «родиться» в форме именительного и винительного падежей мужского рода. Пишется через букву «и» в конце слова.
Родившийся позавчера мальчик уже выписан.
Мы не думали, что родившийся младенец окажется девочкой.
Родившийся медвежонок был очень милым.
Родившейся — также причастие от инфинитива «родиться», но уже в форме родительного, дательного, творительного и предложного падежей женского рода. Пишется через букву «е» в конце слова.
Родившейся девочке сразу сделали прививку.
Поздравление девушке родившейся в июле.
Родившейся красавицей больше всех гордится папа.