Правильно
Оба варианта написания и произношения являются правильными, но в литературном русском языке существует разграничение употребления того или иного слова. «Шесть» — количественное числительное, «шестеро» — собирательное числительное. Вариант употребления зависит от падежа и от одушевленности предмета.
С одушевленными существительными:
И. шестеро детей — шесть товарищей
Р. шестерых детей — шести товарищей
Д. шестерым детям — шести товарищам
В. шестерых детей — шесть товарищей
Т. шестерыми детьми — шестью товарищами
П. (о) шестерых детях — (о) шести товарищах
С неодушевленными существительными:
И. шестеро суток — шесть абрикосов
Р. шести суток — шести абрикосов
Д. шести суткам — шести абрикосам
В. шесть суток — шесть абрикосов
Т. шестью сутками — шестью абрикосами
П. (о) шести сутках — (о) шести абрикосах
Важно! Собирательные числительные не употребляются с существительными женского рода (нельзя сказать «шестеро ласточек», «шестеро роз», и т.д.).
В живом русском языке эти правила зачастую игнорируются, поэтому в основном применяется более благозвучный вариант.