Правильно
Шорты — существительное пишется через букву «о» поскольку является иностранным словом и его написание зафиксировано в словарях. Происходит от английского shorts (шорты, short — короткий). Написание следует запомнить.
Носить шорты на работе нам запрещается.
Эти шорты отлично подходят к моей футболке.
Мои джинсовые шорты нужно постирать.
Мне нужны шорты с карманами.
Неправильно
Шёрты.