Обидва слова як синоніми зустрічаються в українській мові, хоча з деякою відмінністю.
Правильно
Спішити – вживається в значенні «старатися зробити щось якнайшвидше або швидко рухатись, щоб не запізнитись куди-небудь».
Перед поїздкою я готуюсь завчасно, щоб потім не спішити.
Не спіши поперед батька в пекло.
Поспішати — вживаємо в тому ж значенні. Крім того, тільки «поспішати» може годинник.
Скоро почнеться дощ, нам треба поспішати.
Твій годинник поспішає.
Неправильно
Годинник спішить.