По значению эти слова являются синонимами, однако сегодня одно из них считается устаревшим.
Правильно
Становиться — приобретать или усиливать в себе какие-то свойства, превращаться. Этот глагол активно употребляетсся в современном русском языке. Его производная форма в настоящем времени третьего лица — становится (что делает?).
С годами он становится только крепче.
Становиться мудрее с годами может далеко не каждый.
После этих уроков ребёнок становится осознаннее.
Ставать (стаёт) — данный глагол является синонимом к слову «становиться», но в современном языке не используется, поскольку считается устаревшим. Встречается в разговорной речи в некоторых регионах.
Борис лежит уже три дня, а легче ему не стаёт.
Умнее дурак не стаёт сколько бы не учился.
Он стаёт слишком навязчивым.