Правильно
Старенькие — относительное имя прилагательное во множественном числе, отвечает на вопрос (какие?). Уменьшительно-ласкательная форма образована от прилагательного старые при помощи суффикса (-еньк-). Аналогичную функцию в словообразовании выполняет суффикс (-оньк-). Суффикс (-иньк-) в прилагательных для таких целей не применяется. Как вариант, для проверки написания гласной (е) можем изменить слово и поставить ее под ударение — старе̒ющий. Примеры: маленький, остренький, легонький, мягонький.
Любила очень бабушка свои старенькие валеночки.
На нижней полке заботливо хранились старенькие тетради сына.
Старенькие бабушки еще те старушки, у них закалка военная.
Старенькие часики выглядели блекло, но время показывали точь-в-точь.
Неправильно
Старинькие.