Данные слова являются формами одного глагола и имеют право на существование в русском языке. Различаются они правописанием и вопросами.
Правильно
Стыдится – отвечает на вопрос «что делает?» – в вопросе мягкого знака нет, а это значит, что в слове его также не будет.
Роман стыдится своего внешнего вида.
Ирина никому не говорит о своей работе, потому что стыдится её.
Девчонка стыдится своих веснушек.
Юрий стыдится своего прошлого, после того, как проанализировал жизнь.
Стыдиться – инфинитив, отвечает на вопрос «что делать?». В слове пишется мягкий знак потому, что он есть в вопросе.
«Нечего стыдиться своей юности», — говорила бабушка своей любимой внучке.
В журнале готовится к выходу новая рубрика под названием «Не надо стыдиться своего тела».
Надо жить так, чтобы родителям не пришлось стыдиться своих детей.
Не надо людям стыдиться своих физических недостатков; моральное уродство – это беда.
Неправильно
Стыдицца, стыдитца, стыдитьца.