В орфографических словарях русского языка есть оба слова, поэтому допустимо использовать и ту, и другую форму существительного.
Правильно
Табурет — изначальная форма слова, которая заимствована из французского языка (фр. tabouret). Считается книжным, более правильным вариантом. В письменной речи следует использовать именно этот вариант.
Садись на табурет, еще одного стула нет
Табурет чаще всего используется на кухне
Ольга присела на старый табурет
Табуретка — вторая форма слова, которая также есть в словарях русского языка. Считается разговорным, но вполне допустимым вариантом существительного.
Эта табуретка нам больше не нужна
Табуретка стояла на балконе
Это очень шаткая табуретка
Неправильно
Тубурет, тубуретка