Выбор между этими двумя словами производится в зависимости от смысла предложения.
Правильно
Танин — это слово является именем прилагательным, образованным от личного имени Таня. По правилам русского языка прилагательные, обозначающие индивидуальную принадлежность (образованные от имен, фамилий, кличек), пишутся с прописной буквы. Используемые суффиксы: -ов (-ев) или -ин (Танин, Ванин, Катин). Прилагательное подразумевает вопрос «чей?».
От волнения Танин голос задрожал и стал совсем тихим.
Я записал на ладони Танин номер, и исполненный радости побежал дальше.
На столе лежал выцветший Танин рюкзак и пару тетрадок.
Тани — с окончанием на «и» имя Таня пишется в родительном падеже, который подразумевает вопрос «кого?». Соответственно, в ответе используется форма родительного падежа этого имени.
Пока нет ни Тани, ни Олега, давайте послушаем чей-нибудь другой доклад.
Кто-то, кроме Тани, вообще понимает о чём идёт речь?
У этой Тани манера улыбаться во все лицо, как была у Юрия.
На вопрос о принадлежности какой-либо вещи можно ответить двумя способами.
Это чья куртка?
1. Это Танина куртка.
2. Это куртка Тани.