В русском языке эти слова являются синонимами, однако только одно из них употребляется как технический термин.
Правильно
Термометр — прибор для измерения температуры. Существительное употребляется как в профессиональной речи, так и в разговорной. Заимствовано из французского «thermomètre».
Термометр установлен возле в контур системы охлаждения.
Наш уличный термометр показывает минус 20.
Измерения проводили ртутным термометром.
Градусник — то же, что и «термометр», однако употребляется как разговорное слово общей лексики. Не употребляется в профессиональной речи как слово, обозначающее прибор для измерения температуры. Происходит от латинского «gradus».
Градусник показывает повышенную температуру.
Где ты взял этот старый градусник?
Принеси, пожалуйста, градусник из моей тумбочки.
Неправильно
Тирмометр, градуснек.