Эти слова являются формами одного глагола и имеют право на существование в русском языке. Различие их состоит в правописании и вопросах, на которые они отвечают.
Правильно
Тужится – отвечает на вопрос «что делает?». Употреблено слово в настоящем времени. В вопросе мягкого знака нет, значит и в слове его не будет.
Малыш сильно тужится и кряхтит, и плачет.
Спортсмен делает усилие, сильно тужится и поднимает над головой штангу.
Старый конь старается, силится, тужится, а с места сдвинуться не может.
Тужится Ерема мозгами, а вспомнить ничего не может.
Как же мне горемычной по тебе, родимый, тужится и горюется.
Тужиться — слово отвечает на вопрос «что делать?», является инфинитивом. В слове пишется мягкий знак, потому что он есть в вопросе.
Хорошо, мужики, тужиться надо, чтобы избу поставить до зимы.
С какой же это силой надо было тужиться, чтобы камень-то с места сдвинуть?
Ох, и будет нам с тобой, Алёшенька, тужиться по родной сторонушке.
Сколько угодно будешь тужиться, лишь бы научиться грамоте.
Неправильно
Тужытся, тужицца, тужитца.