Эти два глагола не так часто встречаются в русском языке. Но, несмотря на это, оба варианта существуют, потому как указывают на разные глагольные формы.
Правильно
Удосужится – глагол, употребленный в форме будущего времени. Он отвечает на вопрос «что сделает?». Поскольку мягкого знака в вопросе нет, то и глагол будет писаться без него.
Наконец-то он удосужится сесть за уроки.
И когда она удосужится готовиться к сессии?
Скоро она удосужится приехать?
Удосужится ли он позвонить и поинтересоваться как дела у родственников?
Удосужиться – является глаголом неопределенной формы, поэтому отвечает на вопрос «что сделать?». Слово будет писаться с мягким знаком, поскольку такая буква есть в вопросе.
Она может удосужиться помочь с уборкой?
Должен же он когда-то удосужиться прочитать это письмо!
Это же надо было удосужиться вляпаться в аферу.
Неправильно
Удосужитца, удосужитьца, удосужется, удосужеться.