Согласно толковым словарям русского языка эти слова являются полными синонимами и равноправно могут использоваться в речи.
Правильно
Умер — это слово считается более современным, его можно использовать в большинстве случаев.
На операционном столе умер пациент
Умер известный музыкант
От болезни умер пожилой человек
Помер — этот глагол считается более разговорным и просторечным, часто используется в устоявшихся выражениях и художественной литературе.
Наш главный поручик помер
Тот купец день тому назад помер
Он помер без мук и страданий