Правильно
Управляющий банком — в данном словосочетании главное слово (управляющий) – существительное образованное от причастия, требует от зависимого определенного падежа, а именно творительного (чем?). Такой вид связи слов называется управлением. При изменении главного слова – зависимое остается неизменным: управляющий банком, управляющего банком, управляющему банком, об управляющем банком.
Управляющий банком имел достаточно хорошее образование.
На собеседование управляющий банком пригласил пройти в его кабинет.
Управляющий банком во время обыска выглядел спокойно.
Неправильно
Управляющий банка. Данное сочетание слов возможно употреблять в такой форме: управляющий отделением банка. Иногда так и говорят пропуская слово – отделением, чего не стоит делать.