Оба слова написаны без ошибок.
Правильно
Упрямится – к этому слову можно поставить вопрос «что делает?», потому что слово является глаголом, который стоит в форме настоящего времени. В слове не нужно писать букву «Ь», поскольку эта буква отсутствует в вопросе, который ставится к слову.
Он упрямится по любому поводу, не зависимо от просьбы.
Он сначала провоцирует, потом упрямится, а потом всех обвиняет.
Осел упрямится и не хочет даже сдвинуться с места.
Он смотрит на то, как ведет себя старшая сестра, и тоже упрямится.
Упрямиться – данное слово является инфинитивом, о чем свидетельствует вопрос «что делать?», который уместно поставить к данному слову. Поскольку в вопросе имеется буква «Ь», то ее следует писать и в глагольном суффиксе.
Сколько можно упрямиться?
Ты и дальше продолжаешь упрямиться?
Упрямиться после таких слов стало бесполезно.
Ты, конечно, можешь упрямиться, но это не изменит моего решения.
Неправильно
Упрямется, упряметься.