Правильно
Успевать — перед нами глагол в неопределенной форме (что делать?). Очень легко проверить написание безударной гласной (е) в корне данного слова. Не трудно подобрать родственное слово – успеть, которое и будет проверочным. Успева̒ть — успе̒ть. Безударная гласная стала ударной, следовательно, правильно писать букву (е). Примеры: полежать — приле̒чь, побежать — бег, прибивать — приби̒ть.
За час она могла успевать выполнить множество поручений.
В группе продленного дня ребятня должна успевать выполнять домашние задания.
Быть организованным — значит успевать выполнять все намеченные планы на день.
Неправильно
Успивать.