И тот, и другой глагол являются правильными. Для того, чтобы не допустить ошибку в написании этих слов, следует воспользоваться правилом: поставить проверочный вопрос к глаголу.
Правильно
Усугубится – будет писаться без мягкого знака, потому как является глаголом, стоящим в форме будущего времени. Отвечает на вопрос «что сделает?», который не имеет мягкого знака.
Его положение после произошедшего еще больше усугубится.
Проблема бедности населения только усугубится.
Состояние усугубится еще больше, если при повышенном давлении делать тяжелую работу.
Усугубиться – имеет в глагольном суффиксе мягкий знак, потому что отвечает на вопрос «что сделать?», поскольку является инфинитивом.
Этнические конфликты могут усугубиться, если доброжелатели продолжат подливать масла в огонь.
Состояние больного может усугубиться, если сыворотку не введут в ближайшие часы.
С течением времени проблема может только усугубиться.
Неправильно
Усугубитца, усугубитьца, усугубицца.