Слово «уж» может быть существительным, частицей или наречием. В любом случае всегда пишется без мягкого знака.
Правильно
Уж — существительное, которое означает небольшую змею, название некоторых неядовитых змей. По правилам русского языка, существительные мужского рода единственного числа с шипящим на конце пишутся без мягкого знака.
По двору прополз маленький уж.
Уж быстро плыл по маленькому ручью.
Этот уж изрядно напугал девчонок.
Уж — неизменяемое наречие, написание без мягкого знака зафиксировано в словарях русского языка.
Настала уж осень и вся природа начала засыпать.
Он уж как дней пять не появлялся.
Седьмой десяток мне пошел, а уж на пенсию не хочу.
Уж — также это слово может выступать усилительной частицей в предложении. Пишется без мягкого знака, как и в других случаях.
Уж ты хотя бы не трепи мне нервы!
Вот уж нет! Я на такое не соглашался.
Уж зачем ты все это затеял?
Неправильно
Ужь