В зависимости от контекста предложения возможны оба варианта написания.
Правильно
В продолжение — при написании через «е» в конце слова имеем дело с производным предлогом, который состоит из сочетания предлога «в» и существительного «продолжение». В предложении обозначает временной промежуток и всегда употребляется вместе с другим существительным. Зачастую является частью устойчивых выражений: в продолжение разговора, переписки, сотрудничества и т.д.
В продолжение разговора направляю наши учредительные документы.
В продолжение переписки высылаю таблицу с планом работ.
В продолжение путешествия мы посетили природный заповедник.
В продолжение всей дороги он не сказал ни слова.
В продолжении — при написании через «и» в конце слова имеем дело с сочетанием предлога «в» и существительным «продолжение» в форме предложного падежа. Смысл предложения, в этом случае, подразумевает вопрос «в чем?».
В продолжении сериала мы узнаем судьбу главного героя.
Он прочитал ответ на свой вопрос в продолжении романа.
О новых опытах вы узнаете в продолжении передачи «Наука 2.0».
В продолжении фильма будет новая сюжетная линия.