В русском языке есть оба слова, но их значение отличается.
Правильно
Вдохнуть — означает сделать вдох, втянуть в себя воздух при вдохе. Противоположное по значению этому глаголу является слово «выдохнуть».
Нужно глубоко вдохнуть и задержать дыхание.
Он сумел тихо вдохнуть аромат ее духов.
Тебе нужно вдохнуть носом лекарство.
Вздохнуть — этот глагол означает два действия: сделать вздох, то есть вдохнуть и затем выдохнуть воздух. В переносном смысле имеет значения: передохнуть, отдохнуть, взгрустнуть.
Вам нужно глубоко и медленно вздохнуть.
После этого ему оставалось только вздохнуть и пойти домой.
Он хотел вздохнуть, но горесть потери давила на грудь.