В українській мові вживаються обидва варіанти.
Правильно
Вдруге – єдиний правильний варіант написання цього прислівника. За правилами українського правопису «в» з прислівниками пишеться разом.
Вже вдруге я запізнився на роботу.
Нарешті він вдруге одружився.
В друге – єдиний правильний варіант написання прийменника з числівником. За правилами українського правопису прийменники з іншими частинами мови пишуться окремо.
В одне вухо влізе, а в друге вилізе.
В першому вікні Іван нікого не побачив, то ж вирішив заглянути в друге.