И первый вариант написания, и второй являются правильными. Каждое из слов следует употреблять в разных случаях.
Правильно
Веселится – данный глагол отвечает на вопрос «что делает?» и пишется без мягкого знака в своем суффиксе, потому что буквы «Ь» в проверочном вопросе нет.
Пусть веселится, ведь день рождения бывает не каждый день.
Народ на масленицу веселится, как может и как умеет.
Он каждый раз так веселится, когда получает хорошую оценку?
Уже подвыпившая публика с размахом веселится.
Веселиться – это слово представляет собой неопределенную форму глагола, поэтому к нему можно поставить вопрос «что делать?». Буква «Ь» в вопросе говорит о том, что эту же букву следует писать и в глагольном суффиксе.
Веселиться хочется всегда, только вот работу никто не отменял.
Тамада приглашал гостей веселиться, обещая интересные конкурсы.
Веселиться правильно тоже надо уметь.
Они веселиться не умеют и поэтому не любят это делать.
Неправильно
Веселитца, веселитьца.