Словари русского языка дают оба варианта написания.
Правильно
Весной – правильный вариант написания слова в современном языке. Слово может выступать как в роли существительного, так и в роли наречия. Если у слова «весной» есть зависимые слова (ранней весной, этой весной), то это существительное. Если у слова значение временного отрезка и нет зависимых слов, то это наречие.
Подснежники расцветают ранней весной.
Весной мы купили новую машину.
Мы любим ездить в лес ранней весной.
Пшеницу можно сеять и весной, и осенью.
Весною – такой вариант считается устаревшим хотя часто используется в литературной и разговорной речи.
Весною и птицы поют веселее.
Прошлою весною я была очень далеко отсюда.
На Сретение зима встречается с весною.