Правильно
Вьется — чтобы правильно написать данный глагол нужно сперва определить строение слова. Данная форма глагола «виться» состоит из корня «вь», окончания «ёт» и постфикса «ся». Поскольку буква «в» является частью корня, а не приставкой, то по правилам русского языка после неё перед «ё» пишется мягкий знак — вьётся. Твёрдый знак пишется только после приставок.
Эта тропинка вьётся с самой вершины горы.
Вдоль всей реки вьётся небольшая тропа.
Этот цветок вьётся по углу забора.
Дальняя дорога вьётся по лесам и полям.
Неправильно
Въется.