Правильно
Вместе — если слово выступает наречием, то «вместе» пишется слитно. Проверяется постановкой вопроса «как?». Например «Они собрались идти в театр вместе«. Значит действие происходит совместно с кем-то.
Я пошел в кино вместе с другом
Мы будем работать вместе
Оля и Юля учатся вместе в одной группе
В месте — комбинация предлога и существительного, применяется в случае указания на конкретное место. В данном случае вопрос ставится между «в» и «месте» — в ком? в чем? (или где?).
Он находился в месте проведения спортивных состязаний
В месте соприкосновения появилась царапина
Вмятина была в месте удара