В русском языке данные слова являются разными формами одного глагола. Отличаются они правописанием и вопросами, при помощи которых можно их проверить.
Правильно
Восхитится – глагол будущего времени, поэтому отвечает на вопрос «что сделает?». Поскольку вопрос не имеет мягкого знака, то и глагольный суффикс будет писаться без него.
Молодой гусар восхитится приятной внешностью девушки.
Жених, увидев невесту, восхитится ее подвенечным платьем.
Поэт восхитится музыкой, написанной на его стихи.
Она надеялась, что когда они встретятся, он восхитится ее нарядом.
Восхититься – данный глагол стоит в начальной форме глагола, отвечающей на вопрос «что сделать?». Следуя правилу, мягкий знак будет писаться и в глагольном суффиксе, если он есть в проверочном вопросе.
Гусь, приготовленный по особому рецепту, заставит всех восхититься вкусом.
Нельзя не восхититься красотой этого сада манящего своим ароматом.
Он хотел восхититься ее картиной, но решил это сделать, когда полотно будет дописано.
Появилось у парня какое-то внутреннее раздражение, и восхититься этой девушкой он уже не мог.
Неправильно
Восхититца, восхитицца, восхититьца, васхитится.