Оба варианта в русском языке существуют. Они являются разными формами одного глагола. Различаются слова вопросами, которые к ним ставятся, и ударением.
Правильно
Возится – глагол, стоящий в настоящем времени и отвечающий на вопрос «Что делает?». Мягкий знак перед -СЯ писаться не будет, потому что мягкого знака в вопросе нет. Первый слог – вОзится — ударный.
Он целый день возится со своими бумагами без толку.
Старший сын с удовольствием возится с младшей сестрой.
Сосед что-то долго возится в гараже.
Монтер долго возится с ремонтом оборудования.
Возиться – неопределенная форма глагола. К нему можно поставить вопрос «Что делать?». Мягкий знак перед –СЯ будет писаться, потому что в вопросе он есть. Ударный второй слог – возИться.
Никто больше не будет с тобой возиться.
Кирюшке интересно было возиться с машинами.
Саше интересно возиться с компьютером.
Анечке нужно ещё долго возиться со своими игрушками.
Неправильно
Вазится, возитца, возица.