Правильно
Впутаться – представляет собой глагол, который стоит в форме инфинитива. Чтобы убедиться в необходимости написания мягкого знака в слове, к нему требуется поставить вопрос «что сделать?». Наличие буквы «Ь» в вопросе указывает на то, что ее необходимо писать и в слове.
И в какую авантюру ты собираешься впутаться на этот раз?
Тебе мало проблем, так ты решила впутаться еще и в финансовые неприятности?
Ему давно пора впутаться в какую-то историю, уж больно чиста у него репутация.
Неправильно
Впутатся, впутатьца, впутатца, впутацца.