Эта пара слов используется на равных в русском языке. Оба глагола являются правильными. Различить их можно не только по написанию, но и по проверочным вопросам: у каждого из них свой вопрос.
Правильно
Всполошится – пишется без мягкого знака в суффиксе, потому что является глаголом будущего времени. А значит, отвечает на вопрос, не имеющий «Ь» — «что сделает?».
Бабушка всполошится, не увидев внука за учебниками.
Собака всполошится, почувствовав приближение грозы.
Свидетель всполошится, не найдя в кармане обручальных колец.
Всполошиться – глагол употреблен в неопределенной форме, отвечает на вопрос «что сделать?», который имеет мягкий знак. Поэтому суффикс глагола пишется с «Ь».
Соседка может всполошиться, когда увидит, что мальчишки играют в футбол под ее окнами.
Мама должна всполошиться, когда услышит о свадьбе дочери.
Население может всполошиться, если узнает об аварии на атомной станции.
Неправильно
Всполошитца, всполошитьца, всполошицца.