И первый вариант написания, и второй являются правильными.
Правильно
Выдвинутся – к данному слову возможно поставить вопрос «что сделают?», значит, оно является глаголом, стоящим в форме будущего времени. Поскольку вопрос пишется без буквы «Ь», то и глагольный суффикс не будет иметь «Ь».
Теперь на первый план выдвинутся совершенно новые задачи.
Когда десантно-штурмовые группы выдвинутся, тогда и отдашь приказ остальным.
Ничем не закрепленные ящики стола выдвинутся, когда его начнут транспортировать.
Из аппарата выдвинутся специальные щупы, которые и возьмут образцы грунта.
Выдвинуться – данное слово отвечает на вопрос «что сделать?», поскольку оно является инфинитивом. Вопрос пишется с буквой «Ь», значит, глагол будет писаться через «-ТЬСЯ».
Ты решил выдвинуться в депутаты?
После таких слов он все же решил выдвинуться из толпы.
Политтехнологи теперь смогу выдвинуться на передний план.
Он всегда хотел выдвинуться, чему бы это не стоило.