Згідно із словниками сучасної української мови обидві форми слова є правильними.
Правильно
Яєчня — найбільш вживаний варіант написання і вимови слова на теперішній час.
Яєчня дуже популярний сніданок
Рецепти страв із яєчнею
Рецепт приготування яєчні в мультиварці
Яєшня — повний синонім слова «яєчня», який рівноправно може використовуватись в українській мові. На теперішній час поступово виходить із вжитку, але часто зустрічається в художній літературі.
Катерина насмажила яєшні
Яєшня — смажена страва з яєць
На сніданок буде яєшня