За бажанням чи по бажанню як правильно?

Правильно

За бажанням — правильний варіант написання відповідно до правил української мови.
Звільнився з роботи за власним бажанням.
За бажанням публіки концерт було продовжено.
Вибираю книги за власним бажанням.
Я прийшов на лекцію за власним бажанням

На бажання — в такій формі можливе використання слова у сталих виразах.
На бажання публіки співак повторно виконав пісню
Ми грали на бажання і я переміг

Неправильно

По бажанню