Зачем или за чем как правильно?

В русском языке возможны оба написания (в зависимости от части речи). Отличить раздельное написание от слитного помогает наличие зависимого слова, которое относится к местоимению, а не к наречию.

Правильно

Зачем – наречие, образовано от местоимения с предлогом. Синонимично слову «почему». Всегда пишется слитно, так как его написание регламентируется орфографическим словарем. В предложении может выступать как вопросительным местоименным наречием, так и нести роль союзного слова.
— Зачем мне сегодня идти в школу? Я же вчера туда ходила! – недоумевала первоклашка.
Я не знаю, зачем она так с тобой поступила, но на твоем месте я бы с ней больше не общалась.
— Кто мне скажет, зачем мы изучаем иностранные языки?
Он точно не знал, зачем Оля снова к нему пришла.

За чем – местоимение с предлогом. Пишется раздельно согласно правилу написания местоимений с предлогами. В предложении обычно слово «за чем» является падежной формой местоимения «что».
— Родители, а за чем мы едем сегодня на рынок – за вишней или за клубникой?
Я забыла за чем послала мама меня в кладовку – за огурцами или помидорами.
— За чем вы стоите в очереди – за гречкой или за сахаром?
— За чем сегодня ты пришел? – Вообще-то, за своим конспектом, но и книгу тоже можешь мне вернуть.