Правильно
Задыхаться – чтобы проверить, нужен ли «Ь» в данном слове, к глаголу требуется поставить вопрос «что делать?». В данном слове обязательно будет «Ь», потому что такая буква есть в проверочном к неопределенной форме глагола вопросе.
Они начали задыхаться от дыма, который проникал в квартиру через входные двери.
Девушка могла начать задыхаться на улице просто от какого-то резкого запаха.
Человек во время отека Квинке начинает резко задыхаться.
Если пациент начинает вдруг задыхаться, значит, его состояние ухудшается.
Неправильно
Задыхатся, задыхатьца.